Ensembles finis Exemples

$\log_{2} (3 x + 1) - \log_{2} (x + 2) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x})$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) - \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x}) = - 2$

Étape 4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{3 x + 1}{x + 2}}{\frac{9 x - 4}{x}}) = - 2$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2} \cdot \frac{x}{9 x - 4}) = - 2$

Étape 6

Multipliez $\frac{3 x + 1}{x + 2}$ par $\frac{x}{9 x - 4}$ .

$\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

Étape 7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)})$ .

$\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

Étape 8

Réécrivez $\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{- 2} = \frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}$

Étape 9

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x (3 x + 1) = 2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$

Étape 10

Simplifiez $2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{2^{2}} ((x + 2) (9 x - 4))$

Étape 10.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} ((x + 2) (9 x - 4))$

Étape 10.3

Développez $(x + 2) (9 x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x - 4) + 2 (9 x - 4))$

Étape 10.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x - 4))$

Étape 10.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Étape 10.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x \cdot x + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Étape 10.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Étape 10.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Étape 10.4.1.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 \cdot x + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Étape 10.4.1.4

Multipliez $9$ par $2$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x + 2 \cdot - 4)$

Étape 10.4.1.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x - 8)$

Étape 10.4.2

Additionnez $- 4 x$ et $18 x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + 14 x - 8)$

Étape 10.5

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2}) + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Étape 10.6

Simplifiez

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Étape 10.6.1

Multipliez $\frac{1}{4} (9 x^{2})$ .

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Étape 10.6.1.1

Associez $9$ et $\frac{1}{4}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Étape 10.6.1.2

Associez $\frac{9}{4}$ et $x^{2}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Étape 10.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Étape 10.6.2.2

Factorisez $2$ à partir de $14 x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Étape 10.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Étape 10.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (7 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Étape 10.6.3

Associez $7$ et $\frac{1}{2}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7}{2} x + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Étape 10.6.4

Associez $\frac{7}{2}$ et $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Étape 10.6.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.6.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 2))$

Étape 10.6.5.2

Annulez le facteur commun.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

Étape 10.6.5.3

Réécrivez l’expression.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} - 2$

Étape 11

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 11.1

Soustrayez $\frac{9 x^{2}}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} = \frac{7 x}{2} - 2$

Étape 11.2

Soustrayez $\frac{7 x}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Étape 11.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 x) + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Étape 11.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x \cdot x + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Étape 11.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$3 x \cdot x + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Étape 11.3.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.4.1

Déplacez $x$ .

$3 (x \cdot x) + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Étape 11.3.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Étape 11.4

Pour écrire $3 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x + 3 x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Étape 11.5

Associez $3 x^{2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Étape 11.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Étape 11.7

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.7.1

Écrivez $x$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{x}{1} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Étape 11.7.2

Multipliez $\frac{x}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Étape 11.7.3

Multipliez $\frac{x}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Étape 11.7.4

Multipliez $\frac{7 x}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - (\frac{7 x}{2} \cdot \frac{2}{2}) = - 2$

Étape 11.7.5

Multipliez $\frac{7 x}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{2 \cdot 2} = - 2$

Étape 11.7.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Étape 11.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x \cdot 4 + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Étape 11.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.9.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 \cdot x + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Étape 11.9.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Étape 11.9.3

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 14 x}{4} = - 2$

Étape 11.10

Soustrayez $14 x$ de $4 x$ .

$\frac{12 x^{2} - 9 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

Étape 11.11

Soustrayez $9 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

Étape 11.12

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} - 10 x$ .

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Étape 11.12.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) - 10 x}{4} = - 2$

Étape 11.12.2

Factorisez $x$ à partir de $- 10 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 10}{4} = - 2$

Étape 11.12.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x) + x \cdot - 10$ .

$\frac{x (3 x - 10)}{4} = - 2$

Étape 12

Multipliez les deux côtés par $4$ .

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.1.1

Simplifiez $\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4$ .

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Étape 13.1.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 13.1.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.1.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

Étape 13.1.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x (3 x - 10) = - 2 \cdot 4$

Étape 13.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 x) + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

Étape 13.1.1.1.3

Remettez dans l’ordre.

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Étape 13.1.1.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x \cdot x + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

Étape 13.1.1.1.3.2

Déplacez $- 10$ à gauche de $x$ .

$3 x \cdot x - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

Étape 13.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.1.2.1

Déplacez $x$ .

$3 (x \cdot x) - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

Étape 13.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

$3 x^{2} - 10 x = - 2 \cdot 4$

Étape 13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$3 x^{2} - 10 x = - 8$

Étape 14

Résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

Étape 14.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 14.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ et dont la somme est $b = - 10$ .

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Étape 14.2.1.1

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

Étape 14.2.1.2

Réécrivez $- 10$ comme $- 4$ plus $- 6$

$3 x^{2} + (- 4 - 6) x + 8 = 0$

Étape 14.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 4 x - 6 x + 8 = 0$

Étape 14.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 14.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 4 x) - 6 x + 8 = 0$

Étape 14.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 4) - 2 (3 x - 4) = 0$

Étape 14.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x - 2) = 0$

Étape 14.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 14.4

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.4.1

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Étape 14.4.2

Résolvez $3 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 14.4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 14.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 14.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 14.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 14.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 14.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 14.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 14.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 4) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{4}{3}, 2$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{4}{3}, 2$

Forme décimale :

$x = 1.\overline{3}, 2$

Forme de nombre mixte :

$x = 1 \frac{1}{3}, 2$